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数集相等的定义：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换）则称A=B；若可一一对应相等或近似相等则A≈B（例｛3，5，6｝≈｛3，5，6.001≈6｝）。若A=B则A必能（不是“只能”）恒等变换地变为B=A即必可有x↔y=x。

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某些人对无穷集的认识存在非常低级的错误 黄小宁 各个点各就各位地进入各指定位置才能形成一点集，一位只能容纳一点。数轴各点x分别在各自的位置x内，挖去数轴的一个点x就留下一个“洞”即空位x，亦称空心点x；挖去数轴直线部分点就使直线变为由空心点与实心点两类点组成的有空心点直线。“拆东补西”地让一个点离开原位移动入空位内必生一新空位。所以有逻辑学起码常识c：拆东补西不能使空位有任何减少。有人说：对于无穷且“无界”

逻辑学起码常识凸显初等数学几百年重大错误：将N的真子集误为N——百年病态集论的症结 黄小宁 “科学”共识：谁若说初等数学对数集N的认识一直存在极重大错误而将N的真子集误为N，那谁就是将全世界几百年来研究过N的亿万数学、物理、逻辑学教师都当成傻子了。 本文的“自然数集”N是“正自然数集”N=｛1，2，3，…，n，…｝。设集A=｛x｝表A是元为x的集，相应变量x的变域是A。其余类推。N由偶数n=2q=2，4，6，…和奇数n=2q-1组成，n=2q的全体A=｛2

数列、逻辑学起码常识凸显数学几百年重大错误：将两异序列误为同一列 黄小宁 几百年前0不是自然数，本文的“自然数列”N是“正自然数列”N=｛1，2，3，…，n，…｝，N各数n变为偶数2n就使N变为S=｛2，4，6，…，2n，…｝。自有无穷序列概念几百年来数学一直有中学生都懂的“常识e”：挖去数列N一切奇数得到的序列就是S。黄小宁在【1】中据数列起码常识指出数学对无穷序列的认识一直存在极重大缺陷与错误，“常识e”是几百年重大错误——百年

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不等式起码常识凸显初等数学有重大错误：将N（R）外数误为N（R）内数 黄小宁 学数学最关键是须明白数学表达式所表达的全部内容，否则就是鹦鹉学舌从而成为数学王国里的睁眼瞎。不少人能将数学表达式默写出来却不懂该式所表达的全部内容。 设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A。其余类推。设R一切非负数x≥0组成Z=｛x≥0｝⊂R。如[lbk]1[rbk]所述，有不等式起码常识：说y=x+1>x中的x可取3、2、1就是说式中y可>这3个数，说x可一个不

“已非常成熟”的初等数学有违反逻辑学起码常识的重大错误 黄小宁 教学，首先要教人学习钟南山院士敢于实事求是坚持真理的高尚品德。错误的应试教育使不少人唯洋人是从，搞迷信和盲从当分数的奴隶。李四光：迷信权威=扼杀智慧。 逻辑学起码常识c：一数集S各数全都变大后形成的新集显然不能还是S了，否则何来“全都变大”？！人有逻辑推理的能力。“自然数集”N各元n的对应数±2n的全体是元为±2n的无穷集B=｛±2n｝，B各偶数±2n变大为奇数±

小学生都懂的常识让5000年都无人能识的“更无理”自然数一下子浮出水面推翻百年集论 黄小宁 现在有许多人存在陋习：对从西方传进来的数学只敢全盘接受不敢思考质疑，搞伟人所说的爬行主义。 如图所示有一袋水果糖a，设a中有无穷多颗糖，且各颗糖都编了号记为0号糖，1号糖，2号糖，…。现在利用克隆技术将a复制成一袋水果糖b，显然在a中任意取出一颗n号糖来，在b中必可有一颗糖与取出来的糖配对。文盲和小学生都知道不论如何配对，a中的

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300年直线公理使初等数学有几百年重大错误：将无穷多各异数轴误为同一轴 黄小宁 2300年前的直线公理：过两异点可画直线；但为何没“曲线公理”：过两点可画曲线？因过两点可画无穷多条曲线。可见2300年前的直线公理是断定过两点只能有一条直线。2300年前的古人认为凡懂什么是直线的人都知过两异点只能画一条直线从而有初中的2300年直线公理，继而有平行公理和平面公理等。 复平面z平移变换为z+n（n是非0自然数icon）面就使x轴⊂z面沿本身平移

看图识中学数学几百年重大错误：射线沿其负向平移可变为其真扩集——百年病态集论的症结 关键词：有空位（空心点）射线 黄小宁 射线S沿其负向平移非0距离变为射线T≌S，中学几百年“T是S的真扩集即S⊂T”使康脱推出错上加错的更重大错误：T～S⊂T。 设集J=｛x｝表J是元为x的集，相应变量x的变域是J。其余类推。R可几何化为R轴，R轴一切非负元点 x≥0的全体是射线A=｛x≥0｝，A有子部射线B=｛x≥1｝。 各个点各就各位地进入各指定位置才能形成一

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中学数学几百年重大错误：将N的真子集误为N——百年病态集论的症结 黄小宁 自识自然数5000多年来数学一直未能证明存在标准无穷大自然数从而一直断定各标准自然数都是有穷数。这是5千年不倒的极顽固错误堡垒，但在可数集概念面前此堡垒不堪一击。 数学常识：若A=｛7，8，5，3，2，1，0，…｝是可数集则可给A一个不漏的每一个数都编上自然数号码记为：第0号元，第1号元，第2号元，…。没规定哪一个元是第0（或第1等等）号元，而是任何一个元

可数集概念凸显无穷序列N有末项 黄小宁 数学常识：若A=｛7，8，5，3，2，1，0，…｝是可数集则可给A各数编序号记为：第0号元，第1号元，第2号元，…。没规定哪一个元是第0（或第1等等）号元，而是任何一个元都可以是第0号元。若将7编为0号元则A中任何不=7的数都可以编为1号元，…。 可数集N的1可编为第0号元，2编为第1号元，3是2号元，4是3号元，…，≥1的n是n-1号元，因N是可数集所以N中0必也可编为第t号元。从而有无穷序列S=｛0号元1，1号元2，2号

有吧友们有中等数学pdf合订或打包的文件吗？发下谢谢

配对常识让5000年都无人能识的“更无理”自然数一下子浮出水面推翻百年集论 黄小宁科教界将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。只有神仙下凡才能推翻人类最伟大的创造。人类认识自然数已有5000多年，“科学”共识：人类对标准自然数的认识绝对不可能有重大缺陷与错误。”推翻此共识是挑战绝对不可能。 设数对集｛（x，y）｝表示这是以数对（x，y）为元的集。一无穷数对集

逻辑学起码常识凸显级数论有重大错误：将两相同级数误为相异级数 黄小宁 科学有两类：一为常规科学，另一是远超常规科学的超科学。流传百多年使世人深信不疑的“科学”共识“发散级数1-1+1-1+...≠0”其实是违反逻辑学起码常识的错误。 本文将无穷序列（级数）的首项称为第0号项而不是第一号项。偶数0，2，4，…号项为-1奇数号项为1的无穷级数x=（-1+1）+（-1+1）+（-1+1）+...=0（（-1+1)内有x的两个项——说明x是发散级数）的原因是什么？小学生都

配对常识让小学生也能一下子认识中学数学有几百年重大错误：将两异集误为同一集 黄小宁 法院若将无罪人误为杀人犯，后果...；初等数学将两异集误为同一集就使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。许多小学生都喜欢看数学科普书。数对集｛（0，1），（2，3）｝由两对数组成，但同时其也可是由四个数组成的数集，只不过将数集中的每两个数用括号括起来罢了。数列N各数变为数对就得一数对序列S，S的所有数可组成一数集。“自然

数学使人发现海王星，逻辑学起码常识使人发现N有最大元 黄小宁 [摘要]医学若将前所未知的“新冠”病毒误为已熟知的流感病毒，后果...；初等数学将前所未知的N外标准自然数误为已熟知的N内数就使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。 科教界将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版，1993）。自识自然数5000多年来数学一直未能证明存在与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数

逻辑学起码常识凸显“自然数列”N有末项推翻百年集论 黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631） [摘要]医学若将前所未知的“新冠”病毒误为已熟知的流感病毒，后果...；初等数学将前所未知的众多数列（集）误为已熟知的数列（集）N=｛0，1，2，...，n，...｝就使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。数学使人发现海王星，逻辑学起码常识使人发现无穷数列N有末项（——说明须重新认识无穷级数论）使N远不可包含一切标准自

一目了然：中学数学有几百年重大错误：将假N误为N 黄小宁 设集A=｛x｝表A是元为x的集，相应变量x的变域是A。其余类推。N各元n变为2n就得元为2n的集{2n}。 N各元n变为两个数：y=2n、y=2n+1就得元为偶数2n和奇数2n+1的B=｛2n｝∪｛2n+1｝。如图片所示，B各偶数2n与N各数n一一配对就用光N一切数n了，从而使B各奇数2n+1都不能有“配偶”而成“单身”（规定B各元只能与N各元配对且不能有“重婚”）；凡有一点逻辑推理能力的人都知道这说明B的元多于N的元n（—

保距变换概念凸显中学数学几百年重大错误：将假N误为N 黄小宁 医学若将前所未知的致命病毒误为熟知的感冒病毒，后果…。“以严密、精确为生命”的数学将前所未知的数集误为熟知的数集N是致命错误。 元为数组的数组集A=｛（0，1，2），（2，3，4）｝由两组数组成，每组有三个数，但同时A也可是由6个数组成的数集A，只不过将数集中的每三个数用括号括起来罢了。数列N的每一个数都变为数组，就得一数组序列。 中学生就应熟悉非常简单易懂的

几何、逻辑学起码常识凸显数学几百年重大错误：将无穷多各异函数误为函数y=x 黄小宁 若甲人与乙人是同一人则甲的鼻子（嘴巴）=乙的鼻子（嘴巴），...；同理若y=f（x）与y′=g（u）是同一函数则显然必有y=y′、f=g、自变量x=u、...；否则就违反逻辑学起码常识了。可见逻辑学起码常识表明自变量不同的两函数不能是同一函数。 “图像为直线”的函数可称为直线函数，若f与g是同一直线函数则相应的两直线必重合。自有直线概念2300多年来数学一直不知

再论小学常识推翻2300年直线公理和中学几百年函数常识 黄小宁 2300年前的直线公理：过两异点可画直线；但为何没“曲线公理”：过两点可画曲线？因过两点可画无穷多条曲线。可见2300年前的直线公理是断定过两点只能有一条直线。2300年前的古人认为凡懂什么是直线的人都知过两异点只能画一条直线从而有初中的2300年直线公理，继而有平行公理和平面公理等。 两直线是否全等不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明。有了解析几何就能深入到“点”

保序变换概念凸显中学数学重大错误：将假R误为R 黄小宁 如图所示一有序数集A的各数x在A中分别都有一定的高低（大小）地位，例如在数集R中2的地位就高于1的地位，…。 一国家内各人分别都有一定的社会地位，例如市长的社会地位就高于连长的社会地位。a国的总统（市长）在a国有怎样的社会地位，b国的总统（市长）在b国也有怎样的社会地位。c军军长张三保官位地调动到d军工作，显然d军的新军长必是张三。 保序变换是保地位变换，不能使有序

初等数学几百年重大错误：搞错一次函数y=x+1的值域 黄小宁 R各元 x 的保序对应数y=x+1的全体记为R'，据图片中的h定理2R'不=R，两者是伪二重集。这说明R轴（或任何空间直线a）沿本身非恒等变换地保序平移变为的y=y(x)=x+b轴（或直线u）不=R轴（直线u）。 自有函数概念几百年来数学一直认定上述函数y的定义域R=值域R'。医学若将前所未知的致命病毒误为熟知的感冒病毒，后果…。“以严密、精确为生命”的数学将前所未知的数集误为熟知的数集R是致命错

初等数学重大错误：将无穷多各异假R误为R 黄小宁 医学若将前所未知的致命病毒误为熟知的感冒病毒，后果…。“以严密、精确为生命”的数学将前所未知的数集误为熟知的数集R是致命错误——百年病态集论的症结。 设集A=｛x｝表A是元为x的集。其余类推。“实数集”R各元x有对应标准实数x+1、2x等等。R可几何化为R轴。数学图可是“离散”的点组成的点集｛0，1｝（各数是点的坐标）。设本文所说集合往往是元不少于两个的集。定义：若数（点）集A

小学常识凸显中学数学几百年重大错误：将无穷多各异假R误为R 黄小宁 R可几何化为R轴。 h定理：点集A=B≌B的必要条件是A≌B。 证：⑴各图≌自己是小学数学常识。⑵若A=B则A必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换。证毕。 R轴各元点x的不保距对应点y=kx(正常数k不=1）的全体是R'轴不全等于R轴（两直线是否全等不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明），据推翻直线公理的h定理“R=R'”是几百年肉眼直观错觉。 参考文献 [1]黄小宁。初等数学2300

看图识数学一直存在有首、末项的无穷序列 黄小宁 分形几何中由一等边△变成的柯赫雪花闭折线L是无穷多角（边）形而由无穷多无穷短的直线段(短至其长度可＜ε而又>0)连接而成（在放大足够大倍的思维显微镜下可知L由无穷多无穷小的去底等边△连接而成）。 一直线段可变成图中锯齿状图形A而由无穷多直线段连接而成，与直线段一样，A有两端点说明数学一直存在有首、末项的无穷序列。一动点从A左端点处出发沿A“轨道”作“不回头”地运动，

图说数学几百年重大错误：将无穷多各异函数误为函数y=x 黄小宁 h定理：点集A=B≌B的必要条件是A≌B。 证：若A=B则A必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换。证毕。 定义域为R的y=x“的图像”是如图所示的直线Z：y=x。函数y的对应法则不改变但自变量由x改为x'=2x就使y=x变为自变量为x'的y'=x'=2x（x=y），此函数“的图像”是直线L：y'=x'。将不=Z的直线L误为=Z自然就会将两不相等函数y与y'误为是同一函数。 直线Z：x-y=0（x的变域是x轴）可放大（拉

看图识推翻百年集论的革命定理 黄小宁 保距变换是点集的刚体运动。如图所示，圆盘失去部分元点变为圆环不是圆盘的刚体运动。这形象直观地说明有 h定理：元点不少于两个的任何图形A失去部分元变为其真子集一定是不保距变换即不是图形的刚体运动。这说明保距变换绝对不能使A变为其非空真子集。 各n是数轴上点的坐标。元为x=n的点集N=｛x=n｝各点x=n的保距对应点x'=x+5=n+5的全体B=｛5，6，7，…，x'=n+5，…｝≌N。N变为B是保距变换，据h定理B≌N不

给中学生的考题：射线x-1≥0（x≥1）与射线x≥0是否同一射线？

凭小学常识纠正数学2300年重大错误：射线沿其负向平移可变为其真扩集 黄小宁 学而不思是学习的大敌。 射线是数学中最简单的图形。自有射线概念2300多年来数学一直有几何“常识”：起点和射出的方向都相同的射线必重合，射线沿其负平移必可变为其真扩集，各射线之间没有长度差别。任何图≌自己这一小学常识凸显此2300年几何“常识”其实是“以井代天”的“井底蛙”误区。 点集A =｛0,2｝（各数是点的坐标）中：点x=0移位变为点2的同时2变为2

误人子弟的张哲老师。 小学生都能一眼看出包含直线段s的直（射）线是比s大（长）的图形，所以“直、射线没有长度”是不合逻辑的连小学生都不会犯的常识性错误；这一“数学理论”是与数学所要求的严密、精确性格格不入的。

看图打破“数学的公理与定理不可推翻”神话 黄小宁 “假传万卷书，真传一张图。”“大道至简至易。”。 科学”共识：因数学是严密、精确的代名词所以绝不可能有人能推翻数学的公理与定理。”否定此共识是挑战绝对不可能。这共识说明只有“外星人”才能有推翻数学公理与定理的回天之力。 2300多年前的殴氏几何有直线公理：过两异点可画直线；但为何没“曲线公理”：过两点可画曲线？因过两点可画无穷多条曲线。可见2300年前的直线公理是

黄小宁 N可几何化为数轴上的点集N。点集A =｛0,1｝（各数是点的坐标）中：点x=0移位变为点1的同时1变为1（即点1变回自己）就使A 失去元素0变为｛1，1｝，A 各元点x都发生变化（点1原地不动是变回自己）后就使A 变为｛1｝了。可见 A失去元0的原因必可是：点0离开原位变为点1的同时原来的点1变回自己；此变换中原像：0与1的距离是1，像：1与1的距离是0≠1，所以A 变为｛1｝是不保距变换。注：点x可用点（x，y）或点（x，y，z）替换。这说明点集W变为非

凭小学常识发现数学有一系列将两异集误为同一集的重大错误 黄小宁 学而不思当思想上的懒汉是学生的大敌。 因各实数都可是数轴上点的坐标所以数集可几何化为数轴上的点集。R可几何化为R轴。点集｛0，1｝中各数是点的坐标。设本文所说集合是元不少于两个的集。定义：若数（点）集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。 h定理：点（数）集A=B≌B的必要条件是A≌B。 证：⑴各图≌自己是小学数学常识。⑵若A=B则A必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换

几百年解析几何对数轴的认识一直存在重大缺陷与错误的原因 黄小宁 直线是最简单的图形，2300年前的欧氏几何就有直线概念。“科学”共识：因人类对直线的认识已成熟到不能再成熟了，所以数学对直线的认识绝对不可能有重大缺陷与错误。其实这是深深偏见。 数学一直认定有无穷多个公共点的直线必重合从而断定：任两异直线通过刚体运动必能重合。自有直线概念后的2300年里一直无人能知有互不全等的直线。看图可知直线B在A的正投影：直线C是