【杂谈】角、三角函数、双曲函数

这种迷茫不会太久，因为学生很快会发现做题时，并不需要将它真正算出来。
大部分时候，只要像处理有理次幂一样处理它就好了。
规则和公式成为了主体，函数真正的运算被隐藏起来；
（事实上，刚开始接触无理数时也是如此，大部分学生不知道根号的手工算法，但是却可以相当好的处理无理数之间的运算，它们知道哪些可以被合并化简，而哪些只能保留着）。
借由规则和公式，即使不清楚运算的本质，在精确数学的范畴内，这不会造成什么困难。
数学就是不断地发明符号自欺欺人的游戏。

大部分学生应该都会认为，指数函数和对数函数比三角函数更简单。
这是因为对指数函数，只需要知道
e^(x+y)=(e^x)(e^y)
e^(xy)=(e^x)^y
相应的，对对数函数，只需要知道
ln(xy)=lnx+lny
lnx = logx/loge
而对三角函数，需要一大堆公式，才能在题海中畅行无阻。

突然发现 y0=r 时，也就是 (x0,y0)=(0,r)时，
角度的定义是个瑕积分，说一下收敛性的问题：
令 v = 1-w 把瑕点化到 w=0 处

这样能看出，这个瑕积分是收敛的，因为 w=0 附近被积函数的表现与 类似，而这个根据 p-积分 可看出是收敛的。
换句话说，当 (x0,y0) 落在 y 轴正轴上时，角度仍然是有一个有定义的有限数。
我们用一个符号来表达这个数的两倍，那就是 pi


为了接下来要说的双曲函数，看来还是得说一下用面积定义的角度。
我们把 射线 OP 对应的角度 定义为 红色扇形面积 A 与半径平方之比。
当然这里的面积仍旧用积分来算，在这种定义下，最终算得的是

其中 v0 = y0/r , r=sqrt(x0^2+y0^2)
一次分部积分确实可以看出，它和之前利用弧长的定义确实是等价的。


无论是靠弧长还是扇形面积，现在依靠积分，角度变得“言之有物”了。
因此三角函数可以登场了：

我们已经证明了，在同一条射线上取的不同的点(x0,y0)，对应的角度值是一样的。
而由正弦函数的定义，显然它们的正余弦也是相同的。因此正弦函数是良定义的。
类似地，余弦函数显然也是良定义的，而余下的三角函数都可以由这两个函数生成。
因此全部三角函数都是良定义的。


现在我们转而讨论双曲函数。
在此之前，我们先讨论双曲角，然后再讨论以双曲角为自变量的函数——双曲函数。
大部分人接触的双曲函数都是无需依赖图形的，直接给出两个指数函数的线性组合，告诉你，这就是双曲函数，这就完了。
cosh(x)=(e^x+e^(-x))/2
sinh(x)=(e^x-e^(-x))/2
这里值得一提的，我们知道一个 R 上的函数可以分成一个偶函数和一个奇函数之和，
在这里其实即是 e^x 看成是 cosh(x) 和 sinh(x) 的和。
当给定了 f(x)，由于这种分解是唯一的，我们也不妨认为 cosh(x) 是 e^x 的偶分量，sinh(x) 是 e^x 的奇分量。
类似的事情在数学中常有发生，比如一个复数（或者是复函数）可以被分成“实部”和“虚部”；一个函数可以分成“正部”和“负部”；一个实方阵可以看成是“对称阵”和“反对称阵”之和；并且这些分解都是唯一的。
获得分解的方法就是解方程，基本思路与下面的例子大同小异：比如我们有两个实数 a,b
则必有 max{a,b}=(a+b+|a-b|)/2 而 min{a,b}=(a+b-|a-b|)/2
因为 max{a,b}+min{a,b}=a+b 而 max{a,b}-min{a,b}=|a-b|

图中的曲线是等轴双曲线 x^2-y^2=r^2 , P(x0,y0) 为第一象限内一点。
定义射线 OP 所对应的双曲角为 曲边三角形 OPP' 的面积 A 比上 r^2
（很遗憾我不会用几何画板把那块面积给加上颜色，不过我说曲边三角形大家应该明白）

用定积分计算这块面积并不是难事，正好学到积分的同学还是可以锻炼一下自己的计算能力。在该种定义下，最终算得 P(x0,y0) 所对应的双曲角为

和圆角一样，换元之后容易看出，双曲角的大小只和 y0/x0 (射线OP斜率) 有关。


但是现在，有三角函数的帮助，我们已经不是只能傻看着这个积分什么都不能做了，
借助正切函数 v=tan(z) 的换元，我们可以把双曲角确切地算出来！

其中 tan(z0) = y0/r
这也就是为什么我们能确切地把双曲函数明确地用解析式写出来，而不是用积分表达的原因：因为双曲角可以明确地用 (x0,y0) 给出，而不像圆角那样，只能由积分表达。
接下来，双曲函数可以登场了：（这里和三角函数完全是一样的定义，区别就在于角度的度量）

既然已经到了这里，让我们试着把 sinh(a) 的表达式给求出来：
既然 a = ln (x0+y0)/r 也即 (x0+y0)/r = e^a
于是 e^(-a) = r/(x0+y0) = (x0-y0)/r
由 e^a + e^(-a) = 2x0/r 且 e^a - e^(-a) = 2y0/r
容易解出 cosha = (e^a+e^(-a))/2 , sinha = (e^a-e^(-a))/2


双曲角的一些注记：
从 a = ln ((x0+y0)/r) 可以看到，双曲角可以是无界的，当 P(x0,y0) 沿着双曲线 y0->inf 时。从几何上也可以说得通，我们可以固定 r=1，而那个曲边三角形的面积随着 y0 越来越大是发散的。
双曲角可以是负的，事实上 P'(x0,-y0) 对应的双曲角就正好是 P(x0,y0) 对应的双曲角的相反数。
双曲余弦 cosh(a) = x0/r 一定是正的，因为 cosh(a) = e^(a)+e^(-a))/2 这意味着 P 点只能在曲线的右半支上活动。
在双曲角的表达式中令 r=1 ，得 a = ln (x0+y0) = ln(sqrt(1-y0^2)+y0) 这个就是反双曲正弦函数。类似地把双曲角 a 用 x0 表达，就得到反双曲余弦函数。
对同一个 r=1,由于 x^2+y^2=1 和 x^2-y^2=1 右半支的交点只有一个 (1,0)，所以一般不会出现 P(x0,y0) 既可以对应双曲角，又可以对应圆角的情况。当然，从射线的观点看，这是可以的。同一条射线可以对应一个范围为(-inf,+inf)的双曲角，同时对应一个范围为 (-pi/4,pi/4) 的圆角。
求得双曲角表达式的过程中用到了三角函数换元，所以从这里就能看出一些三角函数和双曲函数的联系。那个 a = int seczdz 的积分其实就是古德曼函数的反函数 arcgd(x) （御坂妹妹现在的等级——好人函数，说的就是古德曼函数啦）a = arcgd(arctan(y0/r))
可以看到，arctan 返回的结果是一个圆角，而 a 是一个双曲角，因此这是一个把圆角变为双曲角的函数。那么反过来，古德曼函数 gd(x) 必将是一个把双曲角变成圆角的过程。
当双曲角趋于正无穷时，从几何上考虑，P(x0,y0) 应当充分接近渐近线，因此 y0/r -> inf
从而 arctan(y0/r) -> pi/2 ，可以预见， gd(inf)=pi/2
类似的分析可以得到 gd(-inf)=-pi/2
有意思的一点是，所有的推理中，都是反函数优先出现——以已知函数积分的姿态。

在这种引入角度的方法中，我觉得最重要的两点：
1) 角度应当只取决于斜率，或者说，两直线的相对位置关系。这一点需要根据定义验证。
2）无论是用弧长定义还是用面积定义，角度的本质是积分。
这两点只有在解析几何的框架下，才会明确地被揭示。在欧几里得式的框架下，第一条需要用到“相似性”，而第二条我们从未纠结过弧长是什么？或者面积是什么？这种问题。
接下来谈一谈向量空间 R^n 中的角度，两个向量的夹角通常以内积给出：

在高中阶段，角度既然已经用弧长定义完毕，于是二维向量的内积的定义是以上式给出的。
从而，内积的数乘性质，双线性性质，内积对加法的分配律，以及坐标表示的向量的内积公式都是需要由上式出发并证明的。这在高中课本上都有。
另一方面，很多人喜欢反过来，将这作为是高维欧式空间中角度的定义；而向量的内积则用坐标公式定义。这当然很方便，但是他们其实没有解释这样一件事：比如，在 R^3 中，这样定义出的角度，和考虑包含 x,y 的平面 U ，在平面 U 上，以传统的弧长除以半径的方式定义出的角度，应当是相同的。
就像弧长定义则需要证明面积公式，面积定义则需要证弧长公式一样。
一些地方方便了，就总会有另外一些麻烦的地方，是绕不过去的，必须一点一点严格来证。
说实话我不是很喜欢那种以高等的定义来糊弄过去的行为。
这个式子还同余弦定理和柯西不等式有关。有些人喜欢用这个式子来证明 n 个变元的柯西不等式，这样也不好——除非你有能力从它出发，证明高维向量的内积坐标公式。那算你牛。

不仅两个 R^n 中的向量可以定义内积，两个 C^n 中的向量也可以定义内积。
以 C^2 为例，若有两个复向量 x=(z1,z2) 和 y=(w1,w2) 则可以定义内积：

其中 z1,z2,w1,w2 是复数，w1',w2' 表示 w1,w2 的共轭复数。
只需要注意一点，也就是 (x,y)=(y,x) 不再成立，取而代之的是 (x,y)=(y,x)'
其中 (y,x)' 表示 (y,x) 的共轭复数，这一条可以自行验证。
说这个是为了引出一些新的“角度的定义”来给大家认识：对这样的空间，
两个复向量的夹角可以有两种不同的定义方式：
以及
和传统的角度有一些不同的地方，比如第一种定义保留了夹角 pi/2 则内积为零的性质，
而第二种定义保留了余弦定理的成立。
如果允许复数角度出现的话（此时的 cos 作为一个复变量的函数），那么可以照搬 R^n 中的定义，

这样得到的余弦值也是一个复数，这个复数之模长由 arccos 确定的角度为称为 Hermitian angle，辐角称为 pseudo-angle

经常看到有人谈到欧拉公式的证明，这里我要强调，在复指数函数 e^z 定义之前，
或者更狭隘地说，在给出 e^(ix) 这个符号的确切含义之前，讨论其证明是没有意义的。
对 e^z 来说，比较自然的定义方式有两种，
第一种是 e^z = lim (1+z/n)^n , 令 n 趋于无穷；
第二种是用幂级数 e^z = 1 + z + z^2/2! + z^3/3! + ... + z^n/n! + ...
这两种定义下证明欧拉公式都是简单的微积分可以处理的，略过。
当然，还有用微分方程 f'(z)=f(z) 和函数方程 f(x+y)=f(x)f(y) 在满足一定条件下来定义的方式，这个也略过。
在我所见到的大部分书里，都是直接将 e^(x+iy) 定义成 e^x(cosy+isiny) 的。
也就是说，欧拉公式成了定义。在这种情况下，自然欧拉公式是不需要证明的。
这里要顺带一提的是，只要不是通过函数方式来定义的，
那么 e^z1*e^z2 = e^(z1+z2) 并不是一件自明的事，需要证明得出的，
而证明的关键就是正余弦的两角和差公式。
有些同学偏偏喜欢反过来，用这个性质来证明两角和差公式，这又属于我所讨厌的糊弄行为。