我们可以先找一个素数p使得ab不是p的倍数而且也不是p的二次剩余。于是a,b两者一个是p的二次剩余一个不是。不妨设a是p的二次剩余而b不是
于是先取n1=(p-1)/2,于是a^n1-1是p的倍数，但是b^n1-1不是p的倍数
现在假设p^k|a^n1-1,如果k是奇数，那么(a^n1-1)(b^n1-1)中含p的因子正好奇数次，所以不可能是完全平方数。
但是如果k是偶数，我们可以选择n2=n1*p,于是我们可以得出a^n2-1中p的因子数目为k+1,但是b^n2-1还是不是p的倍数，同样(a^n2-1)(b^n2-1)中含p的因子是奇数次，同样不可能是完全平方数

所以现在的问题就是如何找到一个素数p,使得ab不是其二次剩余。
首先我们看ab是奇数的情况，我们可以任意找一个数h使得勒让德符号(h/ab)=-1
那么如果h=1(mod 4),对于任意x=h+4kab,有(ab/x)=(x/ab)=-1,
而如果h=3(mod 4),那么对于任意x=h+2ab+4kab,有(ab/x)=(x/ab)=-1
另外，根据Dirichlet定理，上面的x中必然存在素数。所以我们可以找到p使得ab不是其二次剩余。
而对于ab是偶数情况，那么我们就需要判断其含2的次数的奇偶性，如果含偶数个2，和上面过程可以完全相同构造；但是如果含奇数个2，那么我们需要根据h模8的余数进行分析，情况会稍微复杂一些，但是同样可以找出一个满足条件的素数p