如果我们问各个时代的科学家，对于所有从事物理研究的人，什么样的数学是必须的。这个问题的答案毫无疑问会随着时间不断演化。比如说，当年还全是几何图形的雏形版的微积分，比如之后几代数学家发展出来的微分方程理论，再比如物理学家们几乎天天打交道的微扰论……
不过，进入了20世纪，经过我们所熟知的那一场巨大的物理学的革命以后，一件非常重要的事情出现了，那就是代数理论现在深深渗透到了当代物理学的每一个触角当中。而在这之中，有一个数学理论，在我看来，他早已成为了与数学分析，偏微分方程等等一样，在物理学中占有核心地位。这里的核心地位是指，无论你做理论还是实验，研究领域能量是高是低，如果这些数学你不懂，那么甚至可以说，你无法入门当代的物理学。
这门理论就是大名鼎鼎的群论。

群论是什么呢？群论是“群”（Group）这么一种抽象的数学结构的理论。我们如果给他下个定义，就是：
设G为一个集合，在其内部定义了一个二元的运算关系G×G→G，这个关系有以下几个特征：
1，满足封闭性。若g，h∈G，则g×h（以后简写为gh）也有gh∈G
2，满足结合律。若g，h，l∈G，则(gh)l=g(hl)
3，集合内有一个名叫“恒等元”的特别元素e，使得对任意g∈G，eg=ge=g
4，集合内的每个元素g都有自己对应的唯一一个逆元素g^(-1)，使得gg^(-1)=g^(-1)g=e
数学家们这样抽象的说法，当然对很多人而言难以理解。不过我觉得这样其实是有好处的，就是大家一定要记住，数学结构本质上都是一些抽象的存在。

那么，这么一个东西，为什么会和物理学有这么密切的关系呢？事实上，我们会发现，群是描述自然界的对称性最完美最合适的语言。可以说，这就是数学家送给全世界的描述所有对称性的一份大礼。
对称是一个我们从小学就在不停接触的概念。我们知道这个世界上有漂亮的镜面对称的蝴蝶，有中心对称的平行四边形，有轴对称，球对称……可是什么是对称呢？对称是不是一定只能对几何图案才存在呢？
如果让我自己给对称下个粗俗的定义，那就是有对称性的东西都有一些“不变”的特征。对于几何图案来讲，当你对他做一个对称操作，他会和原来的图形保持一致。如果我们把这个概念拓宽，就会发现，对称的概念可以完全脱离开我们熟悉的几何图形，扩展到更宽广的范围。

好帖！期望楼主多介绍一下相关的数学工具及其在物理学上的应用。

我们来写一下自由落体时的运动方程：
ma=mg
再来看一下自由落体时的方程（引入一个非常简单的情况的空气阻力）
ma=mg-fv
这里空气阻力加负号的原因是因为，空气阻力的方向总是和速度的方向相反。
与运动有关的变量，一个是加速度a，一个是速度v。现在我们考虑，把描述粒子运动的时间全部加上一个负号，保持空间部分不变。那么，本来速度是δx/δt，如果t变为-t，那么速度会变号。而对于加速度，由于定义为δv/δt，那么t变为-t后，由于上下都有负号产生，那么加速度不变。经过这样的变化，两个方程就会分别变为：
ma=mg
ma=mg+fv
这里就出现了所谓的不变与变化了。自由落体的运动的方程在时间加负号这样的操作下没有变化，而一旦带上空气阻力，方程的样子就立马变化了。

事实上，对于你所知道的任何东西，只要他对于某种操作或者变换，某些特征是不变的，那么我们都可以说这个东西对于他的某一特征有对称性。从这个角度上讲，家里妈妈做菜几十年如一日味道都一样，我们也可以说“妈妈做饭有时间上的对称”，朋友打一辈子光棍，也可以说“朋友在谈恋爱结婚上拥有巨大的时间平移对称性”，股票一直赔钱，也可以说是……咳咳

那么，为什么群论会是描述对称性的最好的语言呢？我们现在来顺着上面的思路思考。
如上所说，对称是与一系列保持研究对象某一特征不变的操作有关，现在我们把这些全部操作堆在一起，构成一个集合，来看他们的性质。
首先，由于经过一个对称操作以后，他不改变我们所关心的那些性质，那么，经过一次操作后，我们自然能对其接着做一个对称操作，两次操作联合起来，我们关心的性质仍然没有变化。这就自然而然地给这个集合一个封闭的二元运算关系。
而对于任何对称操作，都有一个天生的完美的恒等元素——不动。不做操作自然能满足群里恒等元的要求。
而对于逆元，大家能很自然的想到所谓的“倒着操作”，比如逆时针转九十度——顺时针转九十度这样的。
所以我们能看到，保持系统某性质不变的操作集合，本身就具有群的数学结构。所以我们甚至可以说，对称就是群，群就是对称。

好贴，催更。