陶哲轩发布部分解决3x+1猜想的结果，引发讨论
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2019年9月8日和9月10日，著名华人数学家，菲尔兹奖得主陶哲轩分别在ArXiv和其博客上发表他关于考兰兹猜想的一个结果(9月13日ArXiv上的论文有修改)，引发数学社交圈的讨论。
考兰兹猜想，俗称3x+1，说的是这样一个猜想：
对于一个初始的正整数，如果它是偶数我们就把它除以2，如果是奇数就把这个数乘以3再加上1。这样将得到一个新的数字，再把这个新得到的数做之前重复的操作——如果它是偶数我们就把它除以2，如果是奇数就把这个数乘以3再加上1，然后又继续得到一个数。这样的操作一直重复下去，我得到一串正整数的数列。3x+1说，无论最早的初始正整数是多少，这一串数列最终都会进入4,2,1,4,2,1,....这样的循环。
比如，我们用10作为初始正整数：
因为10是偶数，所以除以2，得到5。
因为5是奇数，所以乘以3加上1，得到16。
因为16是偶数，所以除以2，得到8。
因为8是偶数，所以除以2，得到4。
因为4是偶数，所以除以2，得到2。
因为2是偶数，所以除以2，得到1。
因为1是奇数，所以乘以3加上1，得到4。
因为4是偶数，所以除以2，得到2。
因为2是偶数，所以除以2，得到1。
……
我们可以把3x+1猜想的表述改变一下，设初始正整数是n，上述操作得到的数列中一定有个最小值S(n)。那么3x+1猜想就是说S(n)=1。
于是，很多数学家开始研究S(n)的性质，比如去寻找S(n)可能的上界f(n)，即S(n)≤f(n)。
1976年，Terras证明了,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下)，有S(n)<n。
1979年，Allouche证明了，对任意a>0.869，几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下)，有S(n)<n^a(x^a表示x的a次方，下同)。
1994年，Korec证明了，对任意a>ln3/ln4≈0.7924，几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下)，有S(n)<n^a。
这一次，陶哲轩发表的结果是对上述一些成果的改进，他试图证明，只要{f(n)}是一个趋于正无穷的实数列，那么几乎对所有的正整数n(在对数密度意义下).有S(n)<f(n)。
陶哲轩还特别指出，这个结论中的f(n)可以是增长非常慢的的数列，比如f(n) = lnlnlnln(n)。
陶哲轩的文章引起了社交圈的讨论，比如著名的网红橄榄球球员数学家Urschel转发了陶哲轩的博文，并感慨自己虽然同样是做数学的却做不到这种深度。
在众多讨论中，一位来自美国新泽西州立罗格斯大学数论教授Kontorovich唱起了“反调”。他的观点是，应该想办法去证明3x+1猜想是错的。
注意到，就算按这个思路把右边的f(n)改进成了f(n)=2也不能说3x+1被证明了。因为结论有“几乎”的表述，比如自然密度意义下，几乎所有的正整数都是合数，但谁都知道素数(质数)有无穷多个。陶哲轩自己也在博客评论区发言说，把“几乎所有”变成“所有”似乎还有巨大的鸿沟要跨越。
按Kontorovich的想法，这些“几乎”不存在的反例可能真正存在。并引用了自己之前的一些研究结论，以及Conway对3x+1猜想推广的一些结论来佐证自己的直觉。
Kontorovich说多年来他一直试图通过构造一些“奇怪”性质初始值来推翻3x+1猜想，未果。并呼吁包括博学者计划(PolyMath)在内的数学组织来一起找反例。英国数学家，同样是菲尔兹奖得主的高尔斯也参与了Kontorovich教授的讨论。
由于陶哲轩的论文题目和论文结论都多次用到“几乎”(almost)字样，于是网上出现了“陶哲轩几乎证明了考兰兹猜想”为标题的文章。高尔斯认为如果这样表述陶哲轩的结果，就是假新闻。
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2019年9月8日和9月10日，著名华人数学家，菲尔兹奖得主陶哲轩分别在ArXiv和其博客上发表他关于考兰兹猜想的一个结果(9月13日ArXiv上的论文有修改)，引发数学社交圈的讨论。
考兰兹猜想，俗称3x+1，说的是这样一个猜想：
对于一个初始的正整数，如果它是偶数我们就把它除以2，如果是奇数就把这个数乘以3再加上1。这样将得到一个新的数字，再把这个新得到的数做之前重复的操作——如果它是偶数我们就把它除以2，如果是奇数就把这个数乘以3再加上1，然后又继续得到一个数。这样的操作一直重复下去，我得到一串正整数的数列。3x+1说，无论最早的初始正整数是多少，这一串数列最终都会进入4,2,1,4,2,1,....这样的循环。
比如，我们用10作为初始正整数：
因为10是偶数，所以除以2，得到5。
因为5是奇数，所以乘以3加上1，得到16。
因为16是偶数，所以除以2，得到8。
因为8是偶数，所以除以2，得到4。
因为4是偶数，所以除以2，得到2。
因为2是偶数，所以除以2，得到1。
因为1是奇数，所以乘以3加上1，得到4。
因为4是偶数，所以除以2，得到2。
因为2是偶数，所以除以2，得到1。
……
我们可以把3x+1猜想的表述改变一下，设初始正整数是n，上述操作得到的数列中一定有个最小值S(n)。那么3x+1猜想就是说S(n)=1。
于是，很多数学家开始研究S(n)的性质，比如去寻找S(n)可能的上界f(n)，即S(n)≤f(n)。
1976年，Terras证明了,几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下)，有S(n)<n。
1979年，Allouche证明了，对任意a>0.869，几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下)，有S(n)<n^a(x^a表示x的a次方，下同)。
1994年，Korec证明了，对任意a>ln3/ln4≈0.7924，几乎对所有的正整数n(在自然密度意义下)，有S(n)<n^a。
这一次，陶哲轩发表的结果是对上述一些成果的改进，他试图证明，只要{f(n)}是一个趋于正无穷的实数列，那么几乎对所有的正整数n(在对数密度意义下).有S(n)<f(n)。
陶哲轩还特别指出，这个结论中的f(n)可以是增长非常慢的的数列，比如f(n) = lnlnlnln(n)。
陶哲轩的文章引起了社交圈的讨论，比如著名的网红橄榄球球员数学家Urschel转发了陶哲轩的博文，并感慨自己虽然同样是做数学的却做不到这种深度。
在众多讨论中，一位来自美国新泽西州立罗格斯大学数论教授Kontorovich唱起了“反调”。他的观点是，应该想办法去证明3x+1猜想是错的。
注意到，就算按这个思路把右边的f(n)改进成了f(n)=2也不能说3x+1被证明了。因为结论有“几乎”的表述，比如自然密度意义下，几乎所有的正整数都是合数，但谁都知道素数(质数)有无穷多个。陶哲轩自己也在博客评论区发言说，把“几乎所有”变成“所有”似乎还有巨大的鸿沟要跨越。
按Kontorovich的想法，这些“几乎”不存在的反例可能真正存在。并引用了自己之前的一些研究结论，以及Conway对3x+1猜想推广的一些结论来佐证自己的直觉。
Kontorovich说多年来他一直试图通过构造一些“奇怪”性质初始值来推翻3x+1猜想，未果。并呼吁包括博学者计划(PolyMath)在内的数学组织来一起找反例。英国数学家，同样是菲尔兹奖得主的高尔斯也参与了Kontorovich教授的讨论。
由于陶哲轩的论文题目和论文结论都多次用到“几乎”(almost)字样，于是网上出现了“陶哲轩几乎证明了考兰兹猜想”为标题的文章。高尔斯认为如果这样表述陶哲轩的结果，就是假新闻。
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