搬运一点干货，《海岛算经》

作者简介
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刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。

作品简介：
《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》。唐初开始单行，体例亦是以应用问题集的形式。研究的对象全是有关高与距离的测量，所使用的工具也都是利用垂直关系所连接起来的测竿与横棒。有人说是实用三角法的启蒙，不过其内容并未涉及三角学中的正余弦概念。所有问题都是利用两次或多次测望所得的数据，来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远。此卷书被收集于明成祖时编修的永乐大典中，现保存在英国剑桥大学图书馆。刘徽也曾对九章算数重编并加以注释。
《海岛算经》共九问。都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数，进行计算从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论。《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的。“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母。所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸；1里=180丈=1800尺；1丈=10尺：1步=6尺，1尺=10寸。

度娘迷之屏蔽操作我自己能看到全部楼层，但显示回复数少于实际楼层数，不知道是不是某层被屏蔽了！

第一题：
今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？
答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。
术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。

第二题
今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前後相去五十步，令後表与前表参相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松本，入表二尺八寸。复从後表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？
答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。
术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。

第三题：
今有南望方邑，不知大小。立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之。令东表与邑　东南隅及东北隅参相直。当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东端二丈二尺六寸半。又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合。问邑方及邑去表各几何？
答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步。
术曰：以入索乘後去表，以两表相去除之，所得为景长；以前去表减之，不尽以为法。置後去表，以前去表减之，余以乘入索为实。实如法而一，得邑方。求去表远近者：置後去表，以景长减之，余以乘前去表为实。实如法而一，得邑去表。

第四题：
今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺。从勺端望谷底，入下股九尺一寸。又设重矩于上，其矩间相去三丈。更从勺端望谷底，入上股八尺五寸。问谷深几何？
答曰：四十一丈九尺。
术曰：置矩间，以上股乘之，为实。上、下股相减，余为法，除之。所得以勾高减之，即得谷深。

第五题：
今有登山望楼，楼在平地。偃矩山上，令勾高六尺。从勾端斜望楼足，入下股一丈二尺。又设重矩於上，令其间相去三丈。更从勾端斜望楼足，入上股一丈一尺四寸。又立小表於入股之会，复从勾端斜望楼岑端，入小表八寸。问楼高几何？
答曰：八丈。
术曰：上、下股相减，余为法；置矩间，以下股乘之，如勾高而一。所得，以入小表乘之，为实。实如法而，即是楼高。

第六题：
今有东南望波口，立两表南、北相去九丈，以索薄地连之。当北表之西却行去表六丈，薄地遥望波口南岸，入索北端四丈二寸。以望北岸，入前所望表里一丈二尺。又却行，後去表一十三丈五尺。薄地遥望波口南岸，与南表参合。问波口广几何？
答曰：一里二百步。
术曰：以後去表乘入索，如表相去而一。所得，以前去表减之，余以为法；复以前去表减後去表，余以乘入所望表里为实，实如法而一，得波口广。

第七题：
今有望清渊下有白石。偃矩岸上，令勾高三尺。斜望水岸，入下股四尺五寸。望白石，入下股二尺四寸。又设重矩於上，其间相去四尺。更从勾端斜望水岸，入上股四尺。以望白石，入上股二尺二寸。问水深几何？
答曰：一丈二尺。
术曰：置望水上、下股相减，余以乘望石上股为上率。又以望石上、下股相减，余以乘望水上股为下率。两率相减，余以乘矩间为实；以二差相乘为法。实如法而一，得水深。

第八题：
今有登山望津，津在山南。偃矩山上，令勾高一丈二尺。从勾端斜望津南岸，入下股二丈三尺一寸。又望津北岸，入前望股里一丈八寸。更登高岩，北却行二十二步，上登五十一步，偃矩山上。更从勾端斜望津南岸，入上股二丈二尺。问津广几何？
答曰：二里一百二步。
术曰：以勾高乘下股，如上股而一。所得以勾高减之，余为法；置北行，以勾高乘之，如上股而一。所得以减上登，余以乘入股里为实。实如法而一，即得津广。

第九题：
今有登山临邑，邑在山南。偃矩山上，令勾高三尺五寸。令勾端与邑东南隅及东北隅参相直。从勾端遥望东北隅，入下股一丈二尺。又施横勾於入股之会，从立勾端望西北隅，入横勾五尺。望东南隅，入下股一丈八尺。又设重矩於上，令矩间相去四丈。更从立勾端望东南隅，入上股一丈七尺五寸。问邑广长各几何？
答曰：南北长一里百步；东西广一里三十三步、少半步。
术曰：以勾高乘东南隅入下股，如上股而一，所得减勾高，余为法；以东北隅下股减东南隅下股，余以乘矩间为实。实如法而一，得邑南北长也。求邑广：以入横勾乘矩间为实。实如法而一，即得邑东西广。

为第一题做个图文说明吧。。。

AA'和BB'是两根标杆（两表），现在的目标是测量CD的高度（岛高）和CA的距离（去表）。
已知从P点通过A'刚好望到D，从Q点通过B'也刚好望到D。则根据相似三角形属性：
CD/CP = AA'/AP
CD/CQ = BB'/BQ
∵AA'=BB' → CP/AP = CD/AA' = CD/BB' = CQ/BQ
(CA+AP)/AP = (CA+AB+BQ)/BQ
CA/AP = (CA+AB)/BQ
CA*BQ = (CA+AB)*AP = CA*AP + AB*AP
CA*(BQ-AP) = AB*AP
CA = AB*AP/(BQ-AP)
CD = CP*AA'/AP = (CA+AP)*AA'/AP = CA*AA'/AP + AA' = AB*AA'/(BQ-AP) + AA'
【术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。】
这里【表高】=AA'，【表间】=AB，【相多】=BQ-AP，【前表却行】=AP，跟以上两道等式完全吻合！
【今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？】
这里以步作基本单位：【表高】=3丈=30尺=5步（AA'=5），【表间】=1000步（AB=1000），【前表却行】=123步（AP=123），【后表却行】=127步（BQ=127），【相多】=127-123=4步（BQ-AP=4）。得：
CD = AB*AA'/(BQ-AP) + AA' = 1000*5/4 + 5 = 1250 + 5 = 1255
CA = AB*AP/(BQ-AP) = 1000*123/4 = 30750
【答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。】
【岛高】= 4里 + 55步 = 7200尺 + 55步 = 1200步 + 55步 = 1255步
【去表】= 102里 + 150步 = 183600尺 + 150步 = 30600步 + 150步 = 30750步
结果完全吻合！