全域关系:
定义：
{<x, y> | x∈A∧y∈A}=A×A为A上的全域关系。
例子：A={a,b,c}
则全域关系是A×A＝{<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<c,a>,<c,b>,<c,c>}

恒等关系:
集合A上的恒等关系指的是元素为所有的<x,x>的关系
IA={(x,x)|x∈A}，自反、对称、传递。自反性是显然的，根据对称性、传递性的定义，IA也满足对称性、传递性。

空关系，是元素之间都不满足关系。
如果是空集合，则是空矩阵
如果是非空集合，则是零矩阵

映射:


映射是函数在集合上的推广.

Y中任一元素y都是X中某个元素的像时, f为X到Y的满射.
所有Y都有X对应, 可以多个X对应同一个Y, 多出一个X.
若对于X中的任意两个不同的元素x1和x2, 当x1≠x2时, 总有f(x1)≠f(x2), f为X到Y的单射.
Y填不满, 有Y空着.
既是满射又是单射, f为X到Y的双射.
X完美对应Y, 没有落空.
非满射非单射: 有X对应一个Y 和 2个X对应一个Y.

f是X到Y的映射
g: Y→X
规定g(y)=x, x满足f(x)=y时, 称g为f的逆映射, 即f^(-1)
f^(-1)的定义域为Y
f^(-1)的值域为X
::只有单射满足逆映射::

假设有两个映射,
g:X→Y1
f:Y2→Z
其中Y2包含Y1
称为复合映射:
f○g:X→Z
(f○g)(x)=f[g(x)]

直观一点的说明:
EX1:

EX2.1:

EX2.2:

集合列:

集合的大小
难以直观理解的一大原因是：集合和实数不同，实数能比较大小。比如你给出3和5，我们马上有一个直观理解：“5比3大一点儿，但是又不超过3的两倍”。你给一个集合A和集合B，我们的理解仅仅是“字母A和字母B”。
不能比较就创造特殊条件。我们马上发现，有些集合是能够比较大小的。设A={0,1}，B={0,1,2}，我们定义：A包含于B。类比于3＜5。

上确界/下确界:
研究数学分析的数学家又研究出了一个概念：上界。意思是你给出一堆数，称为数列。大于等于这些数的数就是这个数列的上界。在上界中最小的那个数就叫上确界。

再类比到集合论中，那些能够包含集合列{A}的集合就是A的上界，这些集合中最小的那个叫上确界。
而且上确界就是集合列的并集。

下确界同理，是交集。

递增集合的极限:
考虑特殊情况，令数列递增，那么数列的极限就是上确界。

集合列递增大概长这样。

递增集合列的极限同样是上确界，也就是说，并集。

递减集合列类似。极限为交集。

普通集合的极限
问题是大多数的数列都很普通，递增递减的数列不多见，他们也想参与到极限的游戏中去。
于是数学家想了个办法，1）在数列中取个最大的数，2）去掉第一个数，重复一二步。
1）是取当前的上确界，2）是为了构造一个递减的数列 {𝑠𝑢𝑝 𝑎_𝑘} 。

类比到集合中。我们就得到了集合列的上下极限。

如果上下极限相等，则集合列存在极限。